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Komplexe Zahlen

Weil die Gleichung   x² = -1   in R keine Lösung hat wird R um die imaginäre Einheit j erweitert.

(3 Bilder komplexe Zahl, Realteil, Imaginärteil) in Polarform

 

Darstellungsformen

Kartesische Form:
z = x * y j


Exponentialform / Polarform:
z = |z| * e ^j Φ


Trigonometrische Form:
z = |z| ( cos(Φ) + sin(Φ) j)

 

Kartesische Form---> Exponentialform / Polarform

|z| = √x² + y²

Φ = arctan (y / x)     

<-- + 2πk ergänzen aber nur mit arctan(y/x) berechnen!
<-- Quadranten beachten bei negativem Imaginärteil
(1 Quadrant + 0°; 2 Quadrant + 90°; 3 Quadrant + 180°; 4 Quadrant + 0°)

 

Exponentialform / Polarform ---> Kartesische Form

x = |z| * cos(Φ)

y = |z| * sin(Φ)

 

Exponentialform / Polarform ---> Trigonometrische Form- Durch einfaches ablesen von |z| und Φ

Trigonometrische Form ---> Exponentialform / Polarform
- Durch einfaches ablesen von |z| und Φ
- auf + Zeichen zwischen sin und cos achten (- Zeichen ins Argument ziehen)

 

Rechnen mit komplexen Zahlen

addieren / subtrahieren 

  • nur in kartesischer Form
  • Realteil getrennt vom Imaginärteil addieren


z1 + z2   =   (x1 + x2) + j (y1 +y2)

z1 - z2   =   (x1 - x2) + j (y1 -y2)

 

multiplizieren / dividieren

  • bevorzugt in trigonometrischer Form, jedoch auch in kartesischer Form möglich


z1 * z2   =   (x1 * x2 - y1 * y2) + j (x1 * y2 + x2 * y1)

z1 / z2   =   ((x1 * x2 - y1 * y2) / (x2² + y2²)) + (j (x2 * y1 - x1 * y2) / (x2² + y2²))

 

konjugiert komplexe Zahl

 

Absolutbetrag

|z| = √a² + b²

 

Berechnung von Potenzen

  • Mithilfe der Formel von de Moivre ( [cos(Φ) + sin (Φ) j]^n = cos(n * Φ) + sin(n * Φ) j )

 

Potenzen der Imaginären Einheit auf dem Einheitskreis

 

Berechnung von Wurzeln

  • Mithilfe der Formel:   n√z = n√|z| * e ^ ((Φ + 2 π * k) / n)

 

Wurzeln der Imaginären Einheit auf dem Einheitskreis

 

 

Gaußsche Zahlenebene / komplexe Ebene / trigonometrische Form

Realteil wird an der X-Achse angetragen.
Imaginärteil wird an der Y-Achse angetragen.
Die komplexe Zahl z ist der Pfeil.

(Bild Gaußsche Zahlenebene)