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Driftmodell und Diffusionsmodell

Gleichungen des Driftmodells und Diffusionsmodells kann man meist nur numerisch lösen.

 

Kontinuitätsgleichungen

  • folgende Faktoren ändern die lokale Anzahl an Ladungsträgern bzw. die Dichte der Ladungsträger:
    • Stromzufluss
    • Stromabfluss
    • Ladungsträgerrekombination
    • Ladungsträgergeneration

 

Löcherbilanz

- Zufluss = Jp(x- ...)

- Abfluss = Jp(x+ ...)

Rechnungen der Löcherbilanz:

- Dichte (p) * Volumen ===> Teilchen
- Stromdichte (Jp) * Fläche ===> Ladung
- Ladung / Elementarladung(e) ===> Teilchen
- Rekombinationsrate * Volumen ===> Teilchen pro Zeit
- Teilchen pro Zeit * Zeitintervall(Δt) ===> Teilchen

===> Teilchenbilanz = (Bild große Formel)

===> Kontinuitätsgleichunge: 1. (bild) 2. (bild)

 

Stromdichten:

Jp

Jn

 

Poisson-Gleichung

- Driftgeschwindigkeit und Generationsrate hängen vom elektrischen Feld (E) ab
- elektrisches Feld (E) wird von Ladungsungleichgewichten im Halbleiter bedingt ===> diese erzeugen zusätzliche elektrische Felder
- Nettoladungsdichte = Raumladungsdichte (p) = p(x,t) = e*(p(x,t) - n(x,t) + ND(x) - NA(x))
- Maxwellschen Gleichungen: (∂E(x,t)) / ∂x = (1 / (εr *ε0)) * p(x,t)     mit εr ungleich ε0
- relative Dielektrizitätszahl (εr) = -E(x,t)
- dielektrische Feldkonstante (εo) = - (1 / εr * ε0) * p(x,t)
- gekoppelte Kontinuitätsgleichungen = Stromgleichungen und Poissongleichung
- Driftgeschwindigkeit ist nichtlinear Abhängig vom elektrischen Feld (E)

- Das Driftmodell und Diffusionsmodel lifert nur für Frequenzen < 100 GHz und Strukturen > 100nm gute Ergebnisse

weitere Modelle:

 

  • Boltzmann-Transportgleichung
    (Impulsverteilung der Ladungsträger wird berücksichtigt)
  • Monte Carlo-Methode
    (Simulation der Flugbahn sehr vieler Ladungsträger, Stoßprozesse werden statisch nachgebildet)

 

 

Nichtgleichgewichtsfall

- für Nichtgleichgewichtsfälle werden analytische Lösungen angegeben

Ausgleich eines Minoritätsträger

- bei keinem elektrischen Feld (E = 0) und örtlich homogen
- Ungleichgewicht gleicht sich im Verlauf einer e-Funktion durch Rekombination bzw. Rekombination

Relaxationszeit

- bei lokalem Ladungsungleichgewicht versucht das entstehende elektrische Feld diese Raumladung durch Ladungsträgerdrift wieder auszugleichen
- wenn Störung der Raumladungsdichte klein im Vergleich zur beweglichen Ladungsträgerdichte ist und Diffusion keine Rolle spielt, dann dauert dieser Vorgang die dielektrische Relaxationszeit (Tε)
- bei diesem Vorgang spielen die Majoritätsträger die Hauptrolle
- p-dotierung: ...
- n-dotierung: ...
- dielektrische Relaxation auch mit lokalem elektrischen Feld (Feld wird Ladung umverteilen, sodass das ursprüngliche Feld kompensiert wird
- Relaxationszeit bei Silizium = Tε = 0.1ps

 

Debye-Länge

- bei lokalem Ungleichgewicht versuchen die Majoritätsträger dieses auszugleichen
- dadurch (lokale inhomogenität) ensteht ein Driftstrom ===> Ausgleich funktioniert nicht perfekt 

(Bild)

- Deby-Länge der Löcher =
- Deby-Länge der Elektronen =

- Deby-Länge Silizium = TD = 13nm

 

Ausgleich eines Majoritätsträger

 

- bei lokalem Ladungsträgerungleichgewicht Minoritätsträgerdichte, diffundieren an den Grenzen die Minoritätsträger heraus
- nachdem die Monoritätsträger mit den Majoritätsträgern rekombinieren nimmt die Dichte exponentiell mit der Entfernung / Diffusionslänge (LDiff) ab
- Diffusionslänge bei Silizium = Tn = 1µs

(Bild)