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Lineare Differentialgleichungen (DGL)

Die Differentialrechnung ermöglicht die Steigung, Krümmung und Extremstellen (Hochpunkt, Tiefpunkt, Wendepunkt, Terassenpunkt) von Funktionen zu bestimmten.

Lösung einer Differentialgleichung ist eine Funktion f(x) welche die Differentialgleichung erfüllt.

Differentialgleichungen können durch ...

- Trennung der Variablen
- Substitution
- unbestimmte Koeffizienten, gliedweise Ableiten + Koeffizientenvergleich
... gelöst werden

 

gewöhnliche Differentialgleichung = nur von einer Variablen abhängig

- explizite gewöhnliche Differentialgleichung

- implizite gewöhnliche Differentialgleichung

partielle Differentialgleichung = von mehreren Variablen abhängig

 

Differentialgleichung 1. Ordnung = 1. Ableitung der Funktion ===> zeigt die Steigung der Funktion im Punkt x0

f'(x) < 0   ===>   streng monoton fallend

f'(x) > 0   ===>   streng monoton steigend

 

Differentialgleichung 2. Ordnung = 2. Ableitung der Funktion ===> zeigt die Krümmung der Funktion im Punkt x0

f''(x) < 0   ===>   rechtsgekrümmt (konkav)

f''(x) > 0   ===>   linksgekrümmt (konvex)

 

Extremstellen

1. Ableitung = 0   &   2. Ableitung ≠ 0   ===>   x0 ist lokale Extremstelle

f'(x) = 0   &   f''(x) < 0   ===> Hochpunkt
f'(x) = 0   &   f''(x) > 0   ===> Tiefpunkt
 

2. Ableitung = 0   &   3. Ableitung ≠ 0   ===>   x0 ist Wendepunkt

f''(x) = 0   &   f'''(x) ≠ 0   ===> Wendepunkt
f''(x) = 0   &   f'''(x) ≠ 0   &   f'(x) = 0   ===> Terassenpunkt